Cálculo Diferencial e Integral como base de inovações em outras ciências

Base intuitiva para entendimento do cálculo diferencial e integral

Créditos: www.popularmechanics.com

Avanços ao longo da história fizeram do Cálculo um importante ramo da matemática por ter suas ferramentas aplicadas em outras ciências. A Diferenciação e Integração dedicam-se ao estudo de acúmulo de quantidades, decrescimentos e variações de grandezas. [ 1 ]

Desse modo, onde quer que se observe a existência de movimentos e forças que impliquem em variações, é possível estudar tais fenômenos com as ferramentas do Cálculo. Depois de séculos de estudos e evolução é muito mais fácil dizer o que o Cálculo faz do que ele realmente é.

Sob a perspectiva histórica, as primeiras estruturas de ideias relacionadas ao desenvolvimento do Cálculo são encontradas em trabalhos de matemáticos gregos. A busca pela compreensão de fenômenos físicos sustentou o desenvolvimento de um conceito de movimento que mais tarde viria a ser um dos primeiros conceitos do Cálculo Diferencial e Integral.

Diante de um desamparo intuitivo ao estudar os fenômenos do movimento, velocidade e a ideia de infinitésimo, os gregos promoveram uma ruptura entre a Teoria dos Números e a Geometria. Assim, a resolução de problemas aritméticos ou algébricos consistiria em trabalhar com grandezas contínuas.

Esse movimento contribuiu para o desenvolvimento da Álgebra Geométrica, registrada por Euclides, no Livro II de Os Elementos de Euclides. A obra também registra o momento em que a geometria passa a ser explorada em termos de análise algébrica, com interesse particular em métodos de redução e exaustão.

De maneira mais concreta, foi Euxodo quem aproximou os gregos do Cálculo ao desenvolver um método de exaustão com base no Postulado de Arquimedes, onde propõe que é possível atingir uma grandeza tão pequena quanto outra grandeza dada. Os modelos geométricos começavam a influenciar diretamente o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral.

Somente mais tarde, em tentativas contínuas de simplificar os métodos utilizados pelos gregos, a Integração se desenvolveu a partir de problemas de quadraturas de curvas, determinação de áreas de regiões limitadas por uma curva, eixos e ordenadas. Paralelamente, a Diferenciação foi desenvolvida relacionada com a construção de retas tangentes à uma determinada curva.

Muitos matemáticos contribuíram com o desenvolvimento do Cálculo mas foi Newton quem concentrou o reconhecimento efetivo pela invenção porque foi capaz de explorar a relação inversa entre inclinação e área, através de sua nova análise infinita. No desenvolvimento do Cálculo, Newton tomou como base o estudo das tangentes.

As tangentes, máximos, mínimos e o estudo das quadraturas das parábolas encontraram previamente no raciocínio de Fermat o suporte e sucesso necessários para estabelecimento de métodos que auxiliam na construção de objetos geométricos.

Tais problemas foram estudados separadamente por alguns séculos até que no século XVII foram relacionados através do Teorema Fundamental do Cálculo. Conceitos de limite de continuidade de uma função abordam as ferramentas de derivação e integração que foram reescritas como termos de epsilon's e delta's por Weierstras.

A ferramenta de Integração permite a realização de processos de somas de maneira prática envolvendo o uso de uma função primitiva. Com o Teorema Fundamental do Cálculo, o cálculo de área de figuras planas passa a ser realizado sem a necessidade de somar áreas de retângulos indefinidamente.

Já os fenômenos que exigem o estudo de ampliação, variação e movimento, vão se beneficiar da Derivação para cálculos de razões de crescimento, decrescimento e predição de desenvolvimentos futuros.

Uma visão essencial: calcular área de um círculo

Considere um círculo de raio R . Podemos repensar o mesmo círculo como uma composição de pequenos anéis. De todos esses possíveis anéis, considere um anel de maneira arbitrária.

Decompor o círculo em anéis concêntricos parece uma boa ideia por respeitar a simetria do círculo. Podemos imaginar uma versão do anel escolhido como um outro tipo de forma, o mais correto seria imaginar um trapezóide mas vamos escolher representar essa versão esticada do anel como um retângulo. Nesse momento, podemos utilizar uma das notações do cálculo para representar a diferença entre o raio de um anel para outro, isso será denotado por dr.

Aproximação do anel como um retângulo

Para escolhas menores de dr os cálculos levam para um valor cada vez mais próximo da área do círculo. A Figura abaixo representa uma demonstração do comportamento de diferentes valores de dx e como isso influencia da aproximação do cálculo abaixo da curva da função y=f(x) e da nossa y=2πr.

Diferentes valores de dx e o impacto na aproximação do cálculo abaixo da curva para uma y=f(x)

Lewis Carroll e a fascinação pelo problema da quadratura do círculo

O matemático Lewis Carrol

Você pode conhecer Lewis Carrol como um grande escritor de ficções infantis e mais ainda como o autor de Alices's Adventures in Wonderland. Além de escritor, Lewis também foi um matemático.

O problema conhecido como "quadratura do círculo" se trata de construir com régua e compasso um quadrado com área igual a de um círculo dado; é um problema cujo o termo está relacionado a ser difícil (ou impossível) e reuniu a atenção de muitos estudiosos por mais de 25 séculos. [ * ]

A Integral e uma aplicação na estatística: Esperança de variáveis aleatórias contínuas

Variáveis aleatórias contínuas assumem valores em qualquer intervalo dos números reais. Nesse caso, valores de probabilidade assumidos pela v.a. são atribuídos para intervalos na reta. O comportamento de tendência central de uma variável aleatória é chamado de valor esperado: [ * ]

Esperança de uma variável aleatória contínua X

Isso nos leva a entender que a função de densidade da v.a. é uma função contínua pois é integrável no intervalo dos reais, ou seja, sua integral definida no intervalo dos reais existe.

No contexto de independência, o valor esperado de uma v.a. é finito e integrável

Distribuição Uniforme como um exemplo

Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [5, 10], com a notação X ~U[5,10], então a função de densidade de probabilidade de X é definida por:

Como se trata de uma distribuição uniforme, podemos utilizar do fato que o cálculo da esperança é:

Logo, após uma série de observações de X, é possível dizer que o valor médio que a v.a. assume nos experimentos é de 7.5:

Conclusão

Os avanços ao longo do tempo permitiram que o Cálculo passasse a ser aplicado em diversas áreas de conhecimento: estudo de fenômenos sociais e econômicos, problemas da física e química, etc.

Na física, usamos a derivada para definir a velocidade e aceleração de partículas; na economia estudamos receita, lucro e custos marginais; na eletricidade, estudamos variações de corrente em circuitos elétricos; na biologia, estudamos taxas de crescimento de bactérias de uma cultura.

Referências

[ 1 ] SOBRE O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO, FRANCISCO LOPES DA SILVA JÚNIOR, UFPB

[ 2 ] A DERIVADA E SUAS DIFERENTES ABORDAGENS: Um proposta para introdução do seu conceito, Allan Silva Ferreira, Elenice de Souza Lodron Zuin, Lídia Maria Luz Paixão Ribeiro de Oliveira

[ 3 ] O Cálculo com enfoque geométrico, José Cícero Calheiros, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica, 2016

Os métodos de Descartes e Fermat para determinar a tangente
a uma curva, Geovane A. Haveroth, Elisandra Bar de Figueiredo, Rogério de Aguiar

IMPA — https://impa.br/noticias/na-folha-a-tarefa-impossivel-da-quadratura-do-circulo/

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